Optimisation sous contraintes mixtes d'égalité et d'inégalité

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Optimisation sous contraintes mixtes d'égalité et d'inégalité On se place dans un Ouvert $U$ d'un Espace de Hilbert $H$ et on veut minimiser $f$ sur :$$\{g=0\}\cap\{\forall i\in[\![1,p]\!],h_i\leqslant 0\}$$avec $g:U\to E$ avec $E$ un Espace de Hilbert et $h_i:U\to{\Bbb R}$.

l'ensemble $\{\forall i\in[\![1,p]\!],h_i\leqslant0\}$ est en général un Cône

Exercices

Poser la fonction de contrainte.>

Elle est affine, donc la contrainte est qualifiée.

Utiliser le théorème de Théorème de Karush-Kuhn-Tucker.

Vérifier que la contrainte est active en procédant par l'absurde.

Calculer $\mu_*$, puis en déduire $x_*$ et $f(x_*)$.

Vérifier que la fonction admet bien un minimum.

On utilise le Théorème de Bolzano-Weierstrass.

Vérifier l'existence du minimum (via Théorème de Weierstrass).

Calculer le gradient de la contrainte et vérifier qu'elle est qualifiée (ok car le gradient est non nul et il n'y a qu'une seule contrainte).

Appliquer le Théorème de Karush-Kuhn-Tucker et vérifier que la contrainte est active (en passant par l'absurde).

Trouver les valeurs en résolvant le système obtenu.

(en utilisant la question précédente !)

Il suffit de remarquer que le problème est le même qu'à la question précédente à un changement de variables près.

Il suffit de choisir parmi ceux des questions précédentes.

La contrainte n'est pas qualifiée en $(0,0)$, donc il aurait fallu l'enlever (et les calculs auraient étés bien pires).

Il suffit de ne regarder que la première partie de $f_a$, puisque l'autre est linéaire et donc convexe.

Ok en raisonnant par composition.

Cela peut se faire rapidement en procédant par composition (les contraintes ne sont même pas actives).

La contrainte est qualifiée en tant que boule pour une certaine norme.

Appliquer le Théorème de Karush-Kuhn-Tucker et vérifier en procédant par l'absurde que la contrainte est active.

Résoudre le système.

Il suffit de faire un rescaling.

Le passage au carré et délicat et nécessite un passage intermédiaire aux valeurs absolues, ce qui est ok puisque l'inégalité est valable pour $x$ et pour $-x$.

On n'est pas dans un Espace de Hilbert, donc il faut passer par $H^1_0$ (ok par inclusion).

Différencier les fonctions pour pouvoir utiliser le Théorème de Karush-Kuhn-Tucker.

La solution s'obtient en résolvant une EDO.

Reste à montrer que c'est bien la solution, en faisant une variation $x=x_*+\overbrace{x-x_*}^w$ autour de $x_*$.